最近在录制尺规作图的视频，据说尺规作图能完成的作图，等到尺规作图的视频告一段落后，会上传圆规作图的视频。

如果可以用线段的两个端点代表该线段；用射线的端点和射线上其它任意一点代表该射线；用直线上的任意两个点代表该直线；那么圆规作图就可以完全替代尺规作图了。

一、关于圆的描述

圆规作图中很多圆是圆周已知，圆心未知的，所以为了方便起见，我采用下面的方法来描述圆：

圆O表示圆心为O的圆。

圆O〔A〕表示圆心为O且过A的圆，此时圆的半径就是OA。

圆〔A〕表示过A点的圆。

圆〔AB〕表示同时过AB两点的圆。

圆〔ABC〕表示同时过ABC三点的圆，此时圆心就是三角形ABC的外心。

二、图形T关于镜圆O的反演图形T′

圆规作图中用到了一个重要的概念就是“反演”。因为不打算给专业的人讲，所以后面的概念也不采用专业学术名词了。平面内一点X关于圆O〔A〕的反演点是Y，不妨借用光学名词，将反演的过程想成光成像的过程。将X称作源，将O〔A〕称作镜，将Y称作像。满足以下关系：

（1）OX?OY=OA?OA；

（2）OXY三点在同一直线上，且X、Y在O的同侧。

特别地，当OX=OA时，OY=OA，此时X与Y重合，且X和Y都在圆O〔A〕上。

当OX＜OA时，X在圆O〔A〕内，OY＞OA，Y在圆O〔A〕外；同理，当OX＞OA时，X在圆O〔A〕外，OY＜OA，Y在圆O〔A〕内。即源与像分居镜的内外。

接着从解析几何的角度来分析源图和像图的关系。

以镜圆圆心为坐标原点，以镜圆半径为单位长度建立坐标系，设源图上任意一点为（x，y），像图上任意对应的点的坐标为（u，v）。

于是由（1）OX?OY=OA?OA，得

由（2）OXY三点在同一直线上，且X、Y在O的同侧得

（一）当源图为直线时

因为当初建立坐标系的时候没有设定方向，现在不妨设定x轴方向平行于源图直线，且源图直线不在y轴负半轴，此时直线方程简化为，其中a≥0。

情况一、当源图直线过镜圆圆心时，a=0，由①②③解得v=0，此时像图直线和源图直线重合，像图也是过镜圆圆心的直线。

情况二、当源图直线不过圆心时，a>0，由①②③式解得，此时像图为一个圆，且过镜圆圆心（0,0）点。

（二）当源图为圆时

转动坐标轴，使得源图圆心位于y轴上，且不在y轴负半轴，此时圆的方程简化为，其中a≥0，r>0。由①②④式解得.

情况三、当源图圆过镜圆圆心时，即a=r时，⑤式简化为一次函数，此时像图为一条不过镜圆圆心（0,0）的直线。

情况四、当源图圆不过镜圆圆心时，⑤式可变形为，再根据⑥式分情况。

情况四-1、当镜圆圆心在源图圆外时，a>r,像图的圆心纵坐标大于半径，此时镜圆圆心在像图圆外。

情况四-2、当镜圆圆心在源图圆内时，a

情况四-3、当源图圆心与镜圆圆心重合时，④式中a=0，⑥式简化为。此时像图圆心也与镜圆圆心重合。

情况四-4、当源图圆在镜圆外时，④式和⑦式中r>1，像图圆在镜圆内。

情况四-5、当源图圆在镜圆内时，④式和⑦式中r<1，像图圆在镜圆外。

情况四-6、当源图圆和镜圆重合时，④式和⑦式中r=1，像图圆和镜圆重合。

门窗品牌

隔热门窗

隔音门窗

高端断桥铝门窗